Teorema lui Bayes sau probabilitatea cauzelor

Teorema lui Bayes este unul dintre pilonii calculului probabilității . Este o teorie prezentată de Thomas Bayes (1702-1761) în secolul al XVIII-lea. Dar care este scopul cercetării acestui celebru om de știință? Probabilitatea exprimă într-un proces aleatoriu raportul dintre numărul de cazuri favorabile și numărul de cazuri posibile.

Au fost dezvoltate multe teorii ale probabilității care ne guvernează existența astăzi. Când mergem la medic, acesta ne prescrie medicamentul care se dovedește cel mai probabil util în cazul nostru, la fel cum agenții de publicitate își dedică campaniile persoanelor care au cea mai mare șansă să achiziționeze produsul pe care doresc să-l promoveze sau turiștilor și călătorilor care aleg traseul unde este probabil să fie cea mai mică coadă.

Legea probabilității totale este printre cele mai faimoase, așadar înainte de a vorbi despre teorema lui Bayes va trebui să dedicăm câteva rânduri explicării primei. Pentru a încerca să înțelegeți, dați doar un exemplu .

Care este probabilitatea (P) ca o persoană aleasă la întâmplare din populația activă din această țară să fie şomerii ?

Conform teoriei probabilităților datele ar fi exprimate după cum urmează:

• Probabilitatea ca persoana să fie femeie: P (M)
• Probabilitatea ca persoana să fie bărbat: P (H)

Știind că 39% din populație este formată din femei, deducem că: P (M) = 039.

Este deci clar că: P (H) = 1 – 039 = 061. Problema pusă la început ne oferă și probabilitățile condiționate:

• Probabilitatea ca o persoană să fie șomeră știind că este femeie -> P (P | M) = 022
• Probabilitatea ca o persoană să fie șomeră știind că este bărbat – P (P | H) = 014

Folosind legea probabilității totale vom avea:

P (P) = P (M) P (P | M) P (H) P (P | H)

P (P) = 022 × 039 014 × 061

P (P) = 017

The . Observăm că rezultatul se află la jumătatea distanței dintre cele două probabilități condiționate (022<017 <014). Inoltre è più prossimo al valore degli uomini perché nella popolazione di questo paese immaginario sono la maggioranza.

Să descoperim teorema lui Bayes

Acum să presupunem că un adult este ales la întâmplare pentru a completa un formular și se observă că nu are loc de muncă. În acest caz și ținând cont de exemplul anterior, care este probabilitatea ca această persoană aleasă aleatoriu să fie o femeie -P (M | P) -?

Pentru a rezolva această problemă vom aplica teorema lui Bayes care este folosit pentru a calcula probabilitatea unui eveniment având în prealabil informații despre acesta . Putem calcula probabilitățile unui eveniment A știind că acesta satisface anumite caracteristici (B).

În acest caz vorbim despre probabilitatea ca persoana aleasă la întâmplare pentru a completa un formular să fie o femeie. Dar asta

Formula teoremei lui Bayes

Ca orice altă teoremă, avem nevoie de o formulă.

Pare complicat dar totul are o explicație. Să gândim pe părți. Ce înseamnă fiecare literă?

B este evenimentulasupra cărora avem informații preliminare.
• L litera A (n) se referă la diferitele evenimente condiționate.
• În partea numărătorului avem probabilitate condiționată . Aceasta se referă la probabilitatea ca ceva (un eveniment A) să se producă știind că va avea loc și un alt eveniment (B). Este definit ca P (A | B) și se exprimă ca: Probabilitatea A dat B .
• La numitor avem echivalentul lui P (B) și urmează aceeași explicație ca și punctul anterior.

Un exemplu

Revenind la exemplul anterior să presupunem că un adult este ales la întâmplare pentru a completa un chestionar și se observă că este şomerii . Care sunt șansele ca această persoană aleasă să fie de sex feminin?

Știm că 39% din populația activă este formată din femei, în timp ce restul sunt bărbați . De asemenea, știm că procentul femeilor șomere este de 22%, iar cel al bărbaților este de 14%.

În sfârșit, știm și că probabilitatea ca o persoană aleasă la întâmplare să fie șomer este 017. Dacă aplicăm formula teoremei lui Bayes, rezultatul pe care îl vom obține este că există o probabilitate de 05 ca o persoană aleasă la întâmplare printre șomeri.

P (M | P) = (P (M) * P (P | M) / P (P)) = (022 * 039) / 017 = 05

Teorema lui Bayes derivă din conjuncția dintre teoremele de probabilitate compozită și absolută pe care am explicat-o la început. Caracteristica sa principală este că funcționează în toate interpretările probabilității.

Deoarece poate fi folosit pentru a calcula probabilitatea unei cauze care a declanșat evenimentul importanţa sa constă în modul în care a afectat istoric studiul statisticii . Astăzi, de fapt, se cunosc două școli principale (una frecventistă și cealaltă bayesiană) care se contrastează între ele plecând de la interpretarea dată acestei teorii.

Încheiem cu o curiozitate: știați că spam-ul electronic (acela de Internet reclame prin e-mail) funcționează datorită teoremei lui Bayes?